حل تمرین صفحه 51 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! در این تمرین، ما باید مقدار دقیق رادیکال‌ها (اگر صحیح باشند) یا حدود آن‌ها را با استفاده از توان‌های کامل پیدا کنیم. این تمرین برای درک بهتر **قدرت ریشه‌ها** و جایگاه آن‌ها روی محور اعداد است. ### **محاسبه و حدود رادیکال‌ها** 1. **$$\mathbf{\sqrt{16}}$$** * **حاصل:** $$4$$ (چون $4^2 = 16$) 2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-10}}$$** * **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{-8} = -2$$ و $$\sqrt[3]{-27} = -3$$. $-10$ بین $-8$ و $-27$ است. * **حدود:** $$-3 < \sqrt[3]{-10} < -2$$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{400}}$$** * **تحلیل:** چون $$3^5 = 243$$ و $$4^5 = 1024$$. $400$ بین $243$ و $1024$ است. * **حدود:** $$3 < \sqrt[5]{400} < 4$$ 4. **$$\mathbf{\sqrt{75}}$$** * **تحلیل:** چون $$\sqrt{64} = 8$$ و $$\sqrt{81} = 9$$. $75$ بین $64$ و $81$ است. * **حدود:** $$8 < \sqrt{75} < 9$$ 5. **$$\mathbf{\sqrt[3]{250}}$$** * **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{216} = 6$$ و $$\sqrt[3]{343} = 7$$. $250$ بین $216$ و $343$ است. * **حدود:** $$6 < \sqrt[3]{250} < 7$$ 6. **$$\mathbf{\sqrt{100}}$$** * **حاصل:** $$10$$ (چون $10^2 = 100$) 7. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-60}}$$** * **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{-27} = -3$$ و $$\sqrt[3]{-64} = -4$$. $-60$ بین $-27$ و $-64$ است. * **حدود:** $$-4 < \sqrt[3]{-60} < -3$$ 8. **$$\mathbf{\sqrt[3]{20}}$$** * **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{8} = 2$$ و $$\sqrt[3]{27} = 3$$. $20$ بین $8$ و $27$ است. * **حدود:** $$2 < \sqrt[3]{20} < 3$$ 9. **$$\mathbf{\sqrt{1}}$$** * **حاصل:** $$1$$ (چون $1^2 = 1$) | عدد رادیکالی | حاصل یا حدود | دلیل (توان‌های کامل) | | :---: | :---: | :---: | | $\sqrt{16}$ | $\mathbf{4}$ | $4^2 = 16$ | | $\sqrt[3]{-10}$ | $\mathbf{-3 \text{ و } -2}$ | $(-3)^3 = -27, (-2)^3 = -8$ | | $\sqrt[5]{400}$ | $\mathbf{3 \text{ و } 4}$ | $3^5 = 243, 4^5 = 1024$ | | $\sqrt{75}$ | $\mathbf{8 \text{ و } 9}$ | $8^2 = 64, 9^2 = 81$ | | $\sqrt[3]{250}$ | $\mathbf{6 \text{ و } 7}$ | $6^3 = 216, 7^3 = 343$ | | $\sqrt{100}$ | $\mathbf{10}$ | $10^2 = 100$ | | $\sqrt[3]{-60}$ | $\mathbf{-4 \text{ و } -3}$ | $(-4)^3 = -64, (-3)^3 = -27$ | | $\sqrt[3]{20}$ | $\mathbf{2 \text{ و } 3}$ | $2^3 = 8, 3^3 = 27$ | | $\sqrt{1}$ | $\mathbf{1}$ | $1^2 = 1$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۲ برای پیدا کردن مقدار تقریبی با یک رقم اعشار، ابتدا حدود عدد را پیدا کرده و سپس با استفاده از ماشین حساب یا حدس و خطا، مقدار دقیق‌تر را مشخص می‌کنیم. ### **محاسبه‌ی مقادیر تقریبی** 1. **$$\mathbf{\sqrt{20}}$$** * حدود: $4 < \sqrt{20} < 5$ (چون $4^2=16$ و $5^2=25$). * آزمایش $4.4$: $4.4^2 = 19.36$ * آزمایش $4.5$: $4.5^2 = 20.25$ * مقدار دقیق‌تر به $4.5$ نزدیک‌تر است. * **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{4.5}$ 2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{27.2}}$$** * حدود: $3 < \sqrt[3]{27.2} < 4$ (چون $3^3=27$ و $4^3=64$). * آزمایش $3.0$: $3.0^3 = 27$. * چون $27.2$ کمی بزرگ‌تر از $27$ است، مقدار تقریبی کمی بزرگ‌تر از $3.0$ است. * **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{3.0}$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{16}}$$** * حدود: $1 < \sqrt[5]{16} < 2$ (چون $1^5=1$ و $2^5=32$). * آزمایش $1.7$: $1.7^5 \approx 14.19$ * آزمایش $1.8$: $1.8^5 \approx 18.89$ * $16$ به $14.19$ نزدیک‌تر است. * **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{1.7}$ 4. **$$\mathbf{\sqrt[5]{64}}$$** * حدود: $2 < \sqrt[5]{64} < 3$ (چون $2^5=32$ و $3^5=243$). * آزمایش $2.2$: $2.2^5 \approx 51.5$ * آزمایش $2.3$: $2.3^5 \approx 64.36$ * مقدار دقیق‌تر به $2.3$ بسیار نزدیک است. * **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{2.3}$ | عدد رادیکالی | مقدار تقریبی (یک رقم اعشار) | | :---: | :---: | | $\sqrt{20}$ | $\mathbf{4.5}$ | | $\sqrt[3]{27.2}$ | $\mathbf{3.0}$ | | $\sqrt[5]{16}$ | $\mathbf{1.7}$ | | $\sqrt[5]{64}$ | $\mathbf{2.3}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۴ این تمرین به شما کمک می‌کند تا رفتار **تابع ریشه‌ی سوم** ($\sqrt[3]{x}$) را در مقایسه با خود عدد ($x$) درک کنید. این رفتار به بازه‌ی عددی که $a$ در آن قرار دارد، بستگی دارد. ### **الف) $\mathbf{\sqrt[3]{a} > a}$ (برای $\mathbf{a > 0}$)** * **شرط:** ریشه‌ی سوم یک عدد مثبت، از خود آن عدد بزرگ‌تر باشد. * **تحلیل:** این شرط تنها زمانی برقرار است که عدد بین **صفر و یک** باشد. $\mathbf{0 < a < 1}$ * **مثال:** $a = 0.125 \Rightarrow \sqrt[3]{0.125} = 0.5$. $0.5 > 0.125$. * **پاسخ:** $a$ عددی بین $\mathbf{0}$ و $\mathbf{1}$ است. ### **ب) $\mathbf{\sqrt[3]{a} = a}$** * **شرط:** ریشه‌ی سوم یک عدد با خودش برابر باشد. * **تحلیل:** همان‌طور که در تمرین قبلی دیدیم، این شرط برای سه عدد خاص برقرار است. * **پاسخ:** $a$ می‌تواند عددهای $\mathbf{-1}$، $\mathbf{0}$ یا $\mathbf{1}$ باشد. ### **پ) $\mathbf{\sqrt[3]{a} < a}$ (برای $\mathbf{a > 0}$)** * **شرط:** ریشه‌ی سوم یک عدد مثبت، از خود آن عدد کوچک‌تر باشد. * **تحلیل:** این شرط تنها زمانی برقرار است که عدد **بزرگ‌تر از یک** باشد. * **مثال:** $a = 8 \Rightarrow \sqrt[3]{8} = 2$. $2 < 8$. * **پاسخ:** $a$ عددی $\mathbf{\text{بزرگ‌تر از } 1}$ است. --- ### **ت) پاسخ برای حالت $\mathbf{a < 0}$** **بازه‌ی منفی به سه قسمت تقسیم می‌شود:** * **$-1 < a < 0$** * **$a = -1$** * **$a < -1$** **مقایسه $\mathbf{\sqrt[3]{a}}$ و $\mathbf{a}$ برای $\mathbf{a < 0}$:** * **حالت (الف): $\mathbf{\sqrt[3]{a} > a}$ (ریشه بزرگ‌تر از خود عدد):** این شرط زمانی برقرار است که عدد **کوچک‌تر از $-1$** باشد. * **مثال:** $a = -8 \Rightarrow \sqrt[3]{-8} = -2$. $-2 > -8$. * **پاسخ:** $a < \mathbf{-1}$ * **حالت (پ): $\mathbf{\sqrt[3]{a} < a}$ (ریشه کوچک‌تر از خود عدد):** این شرط زمانی برقرار است که عدد بین **$-1$ و $0$** باشد. * **مثال:** $a = -0.125 \Rightarrow \sqrt[3]{-0.125} = -0.5$. $-0.5 < -0.125$. * **پاسخ:** $\mathbf{-1 < a < 0}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۵ این تمرین در مورد مقایسه‌ی **اندازه‌ی ریشه‌های مختلف یک عدد** است. برای حل، باید به رفتار ریشه‌ی زوج (ریشه‌ی چهارم) و ریشه‌ی فرد (ریشه‌ی سوم و پنجم) و همچنین اندازه‌ی فرجه توجه کنیم. ### **الف) مقایسه ریشه‌ها برای $\mathbf{a = 1.6}$ (نقطه مثبت و بزرگ‌تر از ۱)** اگر $a>1$ باشد، هرچه فرجه بزرگ‌تر شود، ریشه **کوچک‌تر** می‌شود: $$\sqrt[5]{a} < \sqrt[4]{a} < \sqrt[3]{a} < a$$ (در این شکل، $a$ کمی کوچک‌تر از $2$ است، مثلاً $1.6$). * $a = 1.6 \Rightarrow \sqrt[3]{1.6} \approx 1.17$، $\sqrt[4]{1.6} \approx 1.12$، $\sqrt[5]{1.6} \approx 1.10$ 1. **بزرگ‌ترین ریشه (خط سبز):** $\sqrt[3]{1.6} \approx 1.17$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی سوم** 2. **ریشه‌ی میانی (خط قرمز):** $\sqrt[4]{1.6} \approx 1.12$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی چهارم** 3. **کوچک‌ترین ریشه (خط آبی):** $\sqrt[5]{1.6} \approx 1.10$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی پنجم** | رنگ | مقدار ریشه | نوع ریشه (فرجه) | | :---: | :---: | :---: | | **سبز** | بزرگ‌ترین | $\mathbf{\text{ریشه‌ی سوم}}$ $| | **قرمز** | میانی | $\mathbf{\text{ریشه‌ی چهارم}}$ $| | **آبی** | کوچک‌ترین | $\mathbf{\text{ریشه‌ی پنجم}}$ | --- ### **ب) مقایسه ریشه‌ها برای $\mathbf{a = -1.5}$ (نقطه منفی و کوچک‌تر از $-۱$)** اگر $a<-1$ باشد، هرچه فرجه بزرگ‌تر شود، ریشه **بزرگ‌تر** می‌شود (به صفر نزدیک‌تر می‌شود): $$\sqrt[3]{a} < \sqrt[5]{a} < a$$ (ریشه‌ی زوج منفی تعریف نشده است.) * **توجه:** در شکل، نقطه $a$ حدود $-1.5$ است. خط‌های آبی، قرمز و زرد مربوط به ریشه‌های فرد هستند و خط سبز مربوط به ریشه‌ی چهارم است که **نباید تعریف شود** (چون $a$ منفی است). با فرض اینکه سوال قصد دارد ریشه‌ی $-1.5$ را مقایسه کند، تنها باید ریشه‌های فرد را در نظر بگیریم. اگر خط سبز را ریشه‌ی چهارم فرض کنیم، تصویر ممکن است گمراه‌کننده باشد یا مربوط به $a$ دیگری باشد. **با فرض این که ریشه‌های فرد و ریشه زوج یک عدد مثبت مجاور مقایسه شوند (بزرگتر از ۱):** در ناحیه‌ی $-1 < a < 0$ (تصویر بالا): $\sqrt[5]{a} < \sqrt[3]{a} < a$. * **ریشه‌ی $\sqrt[3]{a}$ (آبی):** کوچک‌ترین مقدار (منفی‌ترین) $\rightarrow$ **ریشه‌ی سوم** * **ریشه‌ی $\sqrt[5]{a}$ (قرمز/زرد):** بزرگ‌ترین مقدار (نزدیک‌ترین به صفر) $\rightarrow$ **ریشه‌ی پنجم** (با توجه به رنگ‌ها در تصویر دوم که نقطه‌ی $a$ منفی است): 1. **بزرگ‌ترین ریشه (خط قرمز):** نزدیک‌ترین به $0$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی پنجم** 2. **ریشه‌ی میانی (خط زرد):** $\rightarrow$ **ریشه‌ی سوم** 3. **ریشه‌ی کوچک‌تر (خط آبی):** $\rightarrow$ $\sqrt[4]{a}$ (که باید تعریف نشده باشد، اما اگر فرض کنیم منظور ریشه‌ی $\mathbf{\text{هفتم}}$ باشد، $\sqrt[7]{a}$ از $\sqrt[5]{a}$ کوچکتر است. اگر همه‌ی ریشه‌ها فرد باشند: * **قرمز:** ریشه پنجم $\rightarrow \mathbf{\sqrt[5]{a}}$ * **آبی:** ریشه سوم $\rightarrow \mathbf{\sqrt[3]{a}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۶ ### **الف) ریشه‌های چهارم** **گام ۱: پیدا کردن عدد** ریشه‌های چهارم یک عدد، $3$ و یک عدد مجهول است. چون ریشه‌ی چهارم یک ریشه‌ی زوج است، ریشه‌ها باید قرینه‌ی یکدیگر باشند. پس ریشه‌ی دوم $\mathbf{-3}$ است. $$\text{عدد مورد نظر} = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$$ **گام ۲: تکمیل جاهای خالی** الف) ریشه‌های چهارم عدد $\mathbf{81}$ اعداد $3$ و $\mathbf{-3}$ می‌باشند. ### **ب) محاسبه‌ی عبارت** **گام ۱: پیدا کردن مقدار $a$** $$a = \sqrt[3]{-125}$$ * از آنجایی که $(-5)^3 = -125$. $$a = \mathbf{-5}$$ **گام ۲: محاسبه‌ی عبارت $3a + 5$** $$3a + 5 = 3(-5) + 5$$ $$3a + 5 = -15 + 5 = \mathbf{-10}$$ **پاسخ نهایی:** ب) اگر $a = \sqrt[3]{-125}$ باشد، در این صورت حاصل عبارت $3a + 5$ برابر است با $\mathbf{-10}$. (توجه: در صورت اشتباه در متن سؤال و فرض عبارت $a+5a = 6a$ پاسخ $6(-5) = -30$ خواهد بود، اما بر اساس متن $\mathbf{3a+5}$ محاسبه شد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۷ این تمرین به مقایسه‌ی اعداد با استفاده از **توان‌ها** و **ریشه‌ها** می‌پردازد. نکته‌ی کلیدی در مقایسه‌ی توان‌های یک عدد کوچک‌تر از یک، و علائم توان‌های زوج و فرد است. ### **مقایسه‌ی توان‌ها و رادیکال‌ها** 1. **الف) $\mathbf{(-0.1)^5 \bigcirc (-0.1)^3}$** * **تحلیل:** عدد پایه $a = -0.1$ (بین $-1$ و $0$). * هر چه توان $n$ یک عدد $a$ در بازه‌ی $-1 < a < 1$ **بزرگ‌تر** شود، مقدار **قدر مطلق** آن **کوچک‌تر** می‌شود. همچنین، چون توان‌ها فرد هستند، علامت منفی حفظ می‌شود. * $|(-0.1)^5| < |(-0.1)^3| \Rightarrow 0.00001 < 0.001$ * اما چون هر دو منفی هستند، عددی که قدر مطلق کمتری دارد، **بزرگ‌تر** است. * $$-0.00001 > -0.001$$ * **پاسخ:** $\mathbf{(-0.1)^5 > (-0.1)^3}$ 2. **ب) $\mathbf{(0.1)^5 \bigcirc (0.1)^3}$** * **تحلیل:** عدد پایه $a = 0.1$ (بین $0$ و $1$). * هر چه توان **بزرگ‌تر** شود، مقدار کل **کوچک‌تر** می‌شود. * $$0.00001 < 0.001$$ * **پاسخ:** $\mathbf{(0.1)^5 < (0.1)^3}$ 3. **پ) $\mathbf{(-2)^5 \bigcirc (-2)^4}$** * **تحلیل:** عدد پایه $a = -2$ (کوچک‌تر از $-1$). * **سمت چپ:** توان فرد است، نتیجه منفی است. $$(-2)^5 = -32$$ * **سمت راست:** توان زوج است، نتیجه مثبت است. $$(-2)^4 = +16$$ * **پاسخ:** $\mathbf{(-2)^5 < (-2)^4}$ 4. **ت) $\mathbf{\sqrt[5]{0.00001} \bigcirc 0.1}$** * **محاسبه سمت چپ:** $$\sqrt[5]{0.00001} = \sqrt[5]{\frac{1}{100,000}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{100,000}} = \frac{1}{10} = 0.1$$ * **مقایسه:** $0.1 \bigcirc 0.1$ * **پاسخ:** $\mathbf{\sqrt[5]{0.00001} = 0.1}$